Home | Autentificare     
Experior Logo
Arie principala > Off topic > Probleme propuse pentru rezolvare

Probleme propuse pentru rezolvare


Thread inceput de: Euclid Eratostene in data de 02 Iun 2008. Raspunsuri pana acum: 26.


Comentariu Euclid Eratostene [02 Iun 2008 15:01]
Avatar
Moderator
Rating

 

Aici, pe forum, va rugam sa propuneti probleme nerezolvate. Dupa ce utilizatorii vor  posta (tentative de) rezolvari, Echipa Experior va decide daca va include sau nu problema rezolvata in baza de date. Daca doriti sa propuneti o problema rezolvata, va rugam sa o faceti la “Biblioteca” click pe “Propune o Problema”.

 

Mai jos este o problema propusa de EE, rezolvabila la nivel de clasa a V-a, care poate face parte dintr-un test de clasele a IX-a, a XII-a. Se poate reformula in limbaj de clase de resturi modulo… cine ne spune?

 

In cate moduri se poate schimba o bancnota de 25 de lei in exact zece monede de 1,3,5 lei?

 

EE

sus
Comentariu Constantin Radulescu [08 Iun 2008 14:00]
Avatar
Nou venit
Rating
Modificat

Consideram sistemul

x+3y+5z=25
x+y+z=10

deci:

y=10-x-z
x+30-3x-3z+5z=25=>5-2x+2z=0=>z=(2x-5)/2
y=10-x-(2x-5)/2=>y=(20-4x+5)/2=>y=(25-4x)/2

avem solutie generala

{x,y,z}={x,(2x-5)/2,(25-4x)/2} si x,y,x din N

OBS: y=(2x-5)/2 | 2 => 2x-5 sa fie par (obs: 2x par pt. orice x din N si cum par-impar este impar)=> nu exista y din N pentru orice x din N

in conluzie nu exista o solutie sa impartim 25 de lei in 10 monede de 1, 3 sau 5 lei.

sus
Comentariu Euclid Eratostene [09 Iun 2008 13:10]
Avatar
Moderator
Rating

Raspunsul si rezolvarea sunt corecte.

Mai asteptam rezolvari mai scurte si alte comentarii.

EE

 

 

sus
Comentariu Constantin Radulescu [14 Iun 2008 12:19]
Avatar
Nou venit
Rating

Vreun indiciu pentru metoda de rezolvare folosind clase de resturi? Nu de alta dar nu-mi vine nici o idee.

sus
Comentariu Euclid Eratostene [16 Iun 2008 13:13]
Avatar
Moderator
Rating

Ideea este data in rezolvarea ta: 2x-5 e impar, pt oricare x intreg. In general, suma/diferenta a doua nr intregi de paritati diferite este impar. Generalizare. E vorba de clase de resturi modulo 2; adica nr pare sau impare--de aici si accesibilitatea pt elevii de cl 5.

EE

sus
Comentariu Adina AA. [18 Iun 2008 13:28]
Avatar
Nou venit
Rating

Cate functii monotone se pot defini de la multimea {1,2,3} la multimea {1,2,3,4,5,6,7,8}?

sus
Comentariu Adina AA. [18 Iun 2008 13:39]
Avatar
Nou venit
Rating
Modificat

Nu stiu sigur daca solutia e buna, dar sper sa ma verifice cineva Emoticon

Deci... SOLUTIE:

Numarul de functii strict crescatoare este egal cu numarul de functii strict descrescatoare = combinari de 8 luate cate 3.

Numarul de functii constante = 8 ( f(1)=f(2)=f(3) )

Mai avem de analizat 2 cazuri:

Cazul 1 ( f(1)=f(2) )

Numarul functiilor monotone f : {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6,7,8} cu f(1)=f(2) si f(2)!=f(3) este egal cu numarul functiilor stict monotone g :{2,3}->{1,2,3,4,5,6,7,8} (= * * combinari de 8 luate cate 2);

Cazul 2 ( f(2)=f(3))

Numarul functiilor monotone f : {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6,7,8} cu f(1)!=f(2) si f(2)=f(3) este egal cu numarul functiilor stict monotone g :{1,2}->{1,2,3,4,5,6,7,8} (= * * combinari de 8 luate cate 2);

 

 

sus
Comentariu Adina AA. [18 Iun 2008 13:42]
Avatar
Nou venit
Rating
Modificat

Deci numarul total de functii monotone este

2 * combinari de 8 luate cate 3 + 8 + 4 * combinari de 8 luate cate 2 = 232

 

Problema a fost data la Concursul "Dimitrie Pompeiu", la clasa a X-a 2008.

sus
Comentariu Adina AA. [18 Iun 2008 14:02]
Avatar
Nou venit
Rating
Modificat

Rezolvati ecuatia :

   (1 + 2x)n + (1+2-x)n =8 , n numar natural.

 

Concursul intrajudetean de matematica "Vasile Dumitrache" 2008 clasa a X-a

sus
Comentariu Adina AA. [18 Iun 2008 19:47]
Avatar
Nou venit
Rating
Modificat

Fie M o multime de numere reale cu cel putin doua elemente care satisface conditiile:
(i) pentru orice x,y din M => x-y apartine lui M;
(ii) pentru orice a>0 multimea M \cap (-a;a) este finita.

Aratati ca:
1) multimea M este infinita;
2) daca \sqrt{2} apartine lui M, atunci M contine un singur numar rational.

 

Concursul interjudetean de matematica "Dimitrie Pompeiu" 2008 clasa aX-a

sus
Trebuie sa fii logat pentru a adauga un comentariu. Pentru a te loga apasa