Probleme propuse pentru rezolvare

Aici, pe forum, va rugam sa propuneti probleme nerezolvate. Dupa ce utilizatorii vor  posta (tentative de) rezolvari, Echipa Experior va decide daca va include sau nu problema rezolvata in baza de date. Daca doriti sa propuneti o problema rezolvata, va rugam sa o faceti la “Biblioteca” click pe “Propune o Problema”.

Mai jos este o problema propusa de EE, rezolvabila la nivel de clasa a V-a, care poate face parte dintr-un test de clasele a IX-a, a XII-a. Se poate reformula in limbaj de clase de resturi modulo… cine ne spune?

In cate moduri se poate schimba o bancnota de 25 de lei in exact zece monede de 1,3,5 lei?

EE

Consideram sistemul

x+3y+5z=25
x+y+z=10

deci:

y=10-x-z
x+30-3x-3z+5z=25=>5-2x+2z=0=>z=(2x-5)/2
y=10-x-(2x-5)/2=>y=(20-4x+5)/2=>y=(25-4x)/2

avem solutie generala

{x,y,z}={x,(2x-5)/2,(25-4x)/2} si x,y,x din N

OBS: y=(2x-5)/2 | 2 => 2x-5 sa fie par (obs: 2x par pt. orice x din N si cum par-impar este impar)=> nu exista y din N pentru orice x din N

in conluzie nu exista o solutie sa impartim 25 de lei in 10 monede de 1, 3 sau 5 lei.

Raspunsul si rezolvarea sunt corecte.

Mai asteptam rezolvari mai scurte si alte comentarii.

EE

Vreun indiciu pentru metoda de rezolvare folosind clase de resturi? Nu de alta dar nu-mi vine nici o idee.

Ideea este data in rezolvarea ta: 2x-5 e impar, pt oricare x intreg. In general, suma/diferenta a doua nr intregi de paritati diferite este impar. Generalizare. E vorba de clase de resturi modulo 2; adica nr pare sau impare--de aici si accesibilitatea pt elevii de cl 5.

EE

Cate functii monotone se pot defini de la multimea {1,2,3} la multimea {1,2,3,4,5,6,7,8}?

Nu stiu sigur daca solutia e buna, dar sper sa ma verifice cineva

Deci... SOLUTIE:

Numarul de functii strict crescatoare este egal cu numarul de functii strict descrescatoare = combinari de 8 luate cate 3.

Numarul de functii constante = 8 ( f(1)=f(2)=f(3) )

Mai avem de analizat 2 cazuri:

Cazul 1 ( f(1)=f(2) )

Numarul functiilor monotone f : {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6,7,8} cu f(1)=f(2) si f(2)!=f(3) este egal cu numarul functiilor stict monotone g :{2,3}->{1,2,3,4,5,6,7,8} (= * * combinari de 8 luate cate 2);

Cazul 2 ( f(2)=f(3))

Numarul functiilor monotone f : {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6,7,8} cu f(1)!=f(2) si f(2)=f(3) este egal cu numarul functiilor stict monotone g :{1,2}->{1,2,3,4,5,6,7,8} (= * * combinari de 8 luate cate 2);

Deci numarul total de functii monotone este

2 * combinari de 8 luate cate 3 + 8 + 4 * combinari de 8 luate cate 2 = 232

Problema a fost data la Concursul "Dimitrie Pompeiu", la clasa a X-a 2008.

Rezolvati ecuatia :

   (1 + 2^x)ⁿ + (1+2^-x)ⁿ =8 , n numar natural.

Concursul intrajudetean de matematica "Vasile Dumitrache" 2008 clasa a X-a

Fie M o multime de numere reale cu cel putin doua elemente care satisface conditiile:
(i) pentru orice x,y din M => x-y apartine lui M;
(ii) pentru orice a>0 multimea este finita.

Aratati ca:
1) multimea M este infinita;
2) daca apartine lui M, atunci M contine un singur numar rational.

Concursul interjudetean de matematica "Dimitrie Pompeiu" 2008 clasa aX-a