Probleme propuse pentru rezolvare

Corect, [*..] noteza partea intreaga nu doar o paranteza. Rezolvarea este corecta.

EE

Gabriela Chirca [26 Mai 2010]:

Sa se rezolve ecuatia log_1/4(7x+1)=log₉(27).

Va invitam !

Am adus acest post la topicul potrivit.

Mai adaug ca mai multi utilizatori au folosit optiunea Propune o Problema pentru a solicita de fapt asistenta in rezolvarea problemei respective. Locul destinat unui astfel de dialog este pe acest topic.

Sa ma ajute si pe mine cineva cu un exercitu Combinari de n luate cate 2 egal cu 6 vreau daca va rog rezolvarea!

C_n²  =6

Se pune conditia n este natural, n>=2.

C_n²= n(n-1)/2

n(n-1)=12

Produs de nr nat consecutive este 12 => n(n-1)=4*3

n=4

E ok?

Este cunoscut faptul ca un numar natural se poate scrie ca suma adoua patrate perfecte daca si numai daca toti factorii primi care dau restul 3 la impartirea cu 4 apar in descompunerea numarului la puteri pare (eventual 0)
Ce se intampla insa daca adaugam conditia suplimentara ca patratele perfecte care intervin inscrierea numarului ca suma de doua patrate perfecte sa fie prime intre ele ?
Am reusit sa arat ca nici numerele divizibile cu 4 nu pot fi scrise ca suma de doua patrate perfecte prime intre ele si nici numerele divizibile cu 3.
Daca sunt prime intre ele nu pot fi ambele pare si datorita faptului ca numarul este divizibil cu 4 deci par trebuie sa fie ambele impare . Dar orice patrat perfect impar da restul 1 la impartirea cu 4 si deci suma a doua astfel de patrate da restul 2 la impartirea cu 4 deci nu poate fi multiplu de 4.
Daca patratele perfecte sunt prime intre ele nu pot fi ambele divizibile cu 3 si datorita faptului ca numarul este divizibil cu 3 este necesar ca ambele sa fie nedivizibile cu 3. Dar orice patrat perfect nedivizibil cu 3 da restul 1 la impartirea cu 3 si deci suma a doua astfel de patrate da restul 2 la impartirea cu 3 deci nu poate fi multiplu de 3.
Mai general, daca n contine in descompunere factori primi de forma 4k+3 atunci n nu se poate scrie ca suma de doua patrate perfecte prime intre ele.
Intr-adevar, daca p este un factor prim de forma 4k+3 rezulta ca in Z(p) ecuatia a^2+b^2=0 are doar solutia a=b=0 si deci daca suma a doua patrate perfecte este divizibila cu un numar prim de fprma 4k+3 atunci ambele patrate se divid cu acel numar prim deci nu sunt prime intre ele.
Deci o conditie necesara(nu insa si suficienta) ca un numar natural sa se poata scrie ca suma de doua patrate perfecte prime intre ele este ca 2 sa apara in descompunerea numarului cel mult la puterea 1 iar in rest descompunerea numarului sa contina doar factori primi de forma 4k+1.Aceasta am reusit eu sa arat.
Imi poate da cineva o conditie necesara si suficienta pentru ca un numar natural n sa se poata scrie ca suma a doua patrate perfecte prime intre ele? Ma poate ajuta cineva ? Multumesc anticipat.
_________________

Daca-mi trimiti e-mail-ul pe M.P o sa-ti trimit rezolvarea la ultima problema postata sub forma de fisier atsat.