Functii integrabile - Partea IV

Se observă că orice funcţie uniform continuă este continuă în orice punct. De fapt, în cazul particular considerat în definiţie este adevărată şi afirmaţia reciprocă:

Propoziţia 1: Orice funcţie continuă pe un interval închis şi mărginit este uniform continuă.

Demonstraţie:

Fie o funcţie continuă. Să presupunem prin absurd că funcţia nu e uniform continuă. Există atunci şi pentru orice , există , astfel încât şi .

În particular, pentru , există astfel încât şi . Şirul fiind mărginit, există un subşir convergent . Din rezultă că este de asemenea convergent şi . Fie această limită comună. Atunci , iar relaţia contrazice continuitatea funcţiei în punctul .

Teorema 2: Orice funcţie continuă este integrabilă.

Demonstraţie:

Vom arăta că funcţia este integrabilă folosind criteriul lui Darboux. Fie un şir de diviziuni cu . Pentru a arăta că , fie

Deoarece conform propoziţiei precedente funcţia este uniform continuă, există astfel încât dacă şi , atunci . Deoarece , există şi pentru orice avem . Dacă punctele diviziunii sunt notate , atunci pentru . Atunci pentru orice puncte avem . Dacă sunt puncte din în care funcţia îşi atinge marginile:

, atunci şi deci, pentru avem . Aceasta arată că şi deci funcţia este integrabilă.

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie