Permutari. Multimi ordonate cu n elemente

PERMUTĂRI. Mulţimi ordonate cu elemente

Fie o mulţime finită cu elemente. Această mulţime poate fi ordonată în mai multe moduri, obţinându-se astfel mulţimi ordonate diferite ce se deosebesc între ele doar prin ordinea elementelor.

Definiţie:

Se numeşte permutare a mulţimii fiecare din mulţimile ordonate ce se formează cu cele elemente ale mulţimii . Se spune că este o permutare a elementelor sale sau o permutare de elemente.

Numărul permutărilor de elemente se notează cu şi se citeşte " permutări de " . Se observă:

1. O mulţime cu un singur element poate fi ordonată într-un singur mod

2. O mulţime cu două elemente poate fi ordonată:

3. O mulţime cu trei elemente poate fi ordonată:

.

Vrem să determinăm numărul permutărilor unei mulţimi date cu elemente, adică numărul modurilor în care poate fi ordonată o mulţime dată cu elemente.

Se convine că mulţimea vidă poate fi ordonată într-un singur mod Se defineşte Se va folosi notaţia: ce reprezintă produsul primelor numere naturale nenule.

Teoremă:

Oricare ar fi , numărul natural .

Demonstraţie:

Vom folosi metoda inducţiei matematice:

1. este adevărată fiind demonstrată anterior.

2.

Trebuie să ordonăm în toate modurile posibile o mulţime cu elemente. Oricare din cele elemente ale mulţimii poate ocupa ultimul loc, adică al -lea.

Se obţin astfel moduri diferite de a ocupa ultimul loc. Să considerăm unul din ele în care un element ales al mulţimii va avea rangul . Rămâne un număr de elemente ce trebuie să ocupe primele locuri care, din ipoteza de inducţie, acest lucru se poate face în moduri diferite. sunt moduri de a ordona o mulţime cu elemente

Materiale Didactice Asemanatoare