Functii integrabile - Partea I

Procedeul de definiţie era un proces limită în care, folosind o formulă de calcul pentru suma unei progresii geometrice infinite, Arhimede ajungea la concluzia că aria este .

Era deci o abordare a problemei într-un caz particular. Procedeul este reluat de Cauchy în 1823 care, cu acelaşi tip de sume, l-a extins la clasa funcţiilor continue. Riemann consideră sume mai generale şi defineşte o nouă clasă de funcţii, acelea pentru care un proces asemănător celui precedent este convergent.

1.FUNCŢII INTEGRABILE

1.1Diviziuni, sume Riemann

Fie

Definiţia 1: Se numeşte diviziune a intervalului orice mulţime finită astfel încât

Se notează cu şi se numeşte norma diviziunii .

Observaţie: Intervalele se numesc intervale ale diviziunii şi, prin urmare, norma unei diviziuni este cea mai mare lungime a intervalelor din diviziune.

Exemple :

1) Fie , şi Mulţimea este o diviziune a intervalului formată din puncte echidistante. Norma acestei diviziuni este .

2) Mulţimea este o diviziune a intervalului . Norma acestei diviziuni este .

3) Mulţimea este o diviziune a intervalului , norma ei fiind .

4) Mulţimea este o diviziune de normă a intervalului .

Definiţie 2: Fie o diviziune a intervalului şi un sistem de puncte astfel încât . Numărul se numeşte sumă Riemann asociată funcţiei , diviziunii şi sistemului de puncte intermediare .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie