Home | Autentificare     
Experior LogoMath Logo

Functii integrabile - Partea II


Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 18 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Criterii de integrabilitate: criteriul cu siruri de sume Riemann, demonstratie; proprietati ale functiilor integrabile si ale integralei, exemple; sume Darboux, definitie si proprietati; criteriul lui Darboux: demonstratie si exemple; aplicatii.
Domenii: Functii integrabile Riemann

Funcţii integrabile

(2) Criterii de integrabilitate.

Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.

2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.

Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)

Funcţia Math formula este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real Math formula şi pentru orice şir Math formula de sume Riemann astfel încât Math formulaavemMath formula. Atunci Math formula

Demonstratie:

Dacă funcţia Math formula este integrabilă, atunci există un număr real Math formula şi pentru orice număr Math formula există Math formula astfel încât pentru orice sumă Riemann Math formula, avem Math formula. Atunci, dacă Math formula este un şir de diviziuni cu Math formula, există Math formula şi pentru orice Math formula, avem Math formula. Rezultă că Math formula. Recapitulând, pentru orice Math formula există Math formula astfel încât pentru orice Math formula avem Math formula. Aceasta înseamnă Math formula.

Reciproc, să presupunem că există un număr real Math formula şi că pentru orice şir de sume Riemann Math formula, cu Math formula avem Math formula. Să presupunem că funcţia Math formula nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul Math formula există Math formula şi, pentru orice număr Math formula, există o sumă Riemann Math formula cu Math formula, astfel încât Math formula. Alegând Math formula, rezultă că există Math formula şi pentru orice Math formula, există Math formula o sumă Riemann cu Math formula, astfel încât Math formula. Atunci şirul Math formula nu converge către Math formula, cu toate că Math formula, ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia Math formula este integrabilă şi Math formula.


Pagina 1 din 16 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Materiale Didactice Asemanatoare


Bullet Functii integrabile - Partea I
Bullet Functii integrabile - Partea III
Bullet Functii integrabile - Partea IV
Bullet Functii integrabile - Partea V

Bibliografie


1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica
2. Manual pentru clasa a XII-a - Boboc N., Colojoara I. - Editura: Didactica si Pedagogica