Functii integrabile - Partea II

Atunci şirul are şi el cele două proprietăţi menţionate. Din rezultă că . În concluzie, există astfel încât pentru orice şir de diviziuni cu proprietăţile pentru orice , avem .

Este important să reţinem că . Fie acum un şir de sume Riemann corespunzător unui şir de diviziuni cu . Fie . Şirul de diviziuni are proprietăţile: , aceasta deoarece . Atunci , de unde rezultă că . Din ipoteză rezultă că .

Analog, . În fine, deoarece , va rezulta că , deci funcţia este integrabilă.

Observaţii:

1) Teorema precedentă dă o condiţie necesară şi suficientă de integrabilitate exprimată doar prin valorile funcţiei.

2) Afirmaţia următoare este o variantă a teoremei precedente:

Teoremă: Funcţia este integrabilă dacă şi numai dacă este mărginită şi pentru orice există astfel încât pentru orice diviziune cu , avem .

3) Se poate demonstra şi următorul criteriu:

Teoremă: Funcţia este integrabilă dacă şi numai dacă pentru orice există o diviziune astfel încât .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie