Functii integrabile - Partea II

Exemple:

1) Dacă este o funcţie crescătoare, atunci , şi , .

2) Fie o funcţie continuă şi o diviziune a intervalului . Se ştie că funcţia este atunci mărginită şi îşi atinge marginile pe orice interval inclus în şi, deci, în particular, există numerele în astfel încât .

Atunci: , .

Se observă deci că, în acest caz, sumele Darboux sunt cazuri particulare de sume Riemann.

3) Fie . Fie . Dacă atunci . Atunci şi deci şi . Suma nu este sumă Riemann.

Propoziţia 3: Dacă este o funcţie măginită, iar sunt diviziuni ale intervalului astfel încât , atunci şi .

Demonstraţie:

Să arătăm, spre exemplu, că . Dacă vom analiza contribuţia unui interval la sumele Darboux . Conform ipotezei şi în se pot afla şi alte puncte din . Dacă în nu se mai află alte puncte din , atunci contribuţia intervalului la sumele Darboux considerate este aceeaşi: . Dacă în se află şi alte puncte din , să considerăm cazul cel mai simplu, în care în se mai află doar punctul . Contribuţia intervalului la este , iar contribuţia la este , unde , . Deoarece , rezultă că . O asemenea inegalitate este adevărată şi dacă în se află mai multe puncte din . Rezultă că .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie