Functii integrabile - Partea I

Avem

. Conform teoremei lui Lagrange aplicată funcţiei pe intervalul , există astfel încât

Rezultă că şi deci . Atunci, dacă , avem .

Funcţia este deci integrabilă şi integrala ei este adică

4) Amintim că funcţia ,

numită funcţia lui Dirichlet, este cunoscută ca fiind un exemplu de funcţie discontinuă în fiecare punct. Vom arăta că această funţie nu este integrabilă .

Să presupunem prin absurd că ar exista un număr real şi că pentru orice există astfel încât pentru orice sumă Riemann cu am avea

Fie o asemenea sumă Riemann şi în care punctele intermediare au fost alese iraţionale. Atunci şi, prin urmare, pentru orice

Va rezulta că . Analog, pentru o sumă Riemann cu şi în care punctele intermediare au fost alese raţionale am avea şi, prin urmare, pentru orice

Ar rezulta că şi s-ar ajunge la o contradicţie.

Propoziţie : Orice funcţie integrabilă este mărginită.

Demonstraţie : Fie o funcţie integrabilă. Există atunci şi pentru orice există astfel încât pentru orice sumă Riemann cu să avem . Dacă fixăm o asemenea diviziune cu atunci pentru orice sistem de puncte intermediare avem , de unde

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie