Elemente de combinatorica si aplicatii

APLICAŢIE (Mica teoremă a lui Fermat).

Dacă este un număr natural prim, iar un număr natural oarecare, atunci se divide cu .

Demonstraţie:

Într-adevăr, pentru , afirmaţia este adevărată.

Să presupunem divizibil cu şi să demonstrăm că numărul este divizibil cu . Pentru aceasta, considerăm diferenţa .

Dezvoltând după formula lui Newton , avem:

Însă pentru avem:

Întrucât numărul este prim, el nu se divide cu niciunul din numerele de la numitor. De aceea se divide cu pentru .

Dar atunci toţi termenii din membrul drept al egalităţii se divid cu şi deci membrul stâng se divide cu .

Dar cum am presupus că se divide cu , atunci şi se divide cu .

Conform metodei inducţiei matematice rezultă că se divide cu , pentru orice număr natural .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie